高一三角函数知识点全览

1. 任意角的概念

• 正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：顺时针方向；零角：没有旋转。
• 象限角：角的顶点在原点、始边与 x 轴非负半轴重合时，按终边位置分第一、二、三、四象限角；终边落在坐标轴上时称为轴线角（不属于任何象限）。
• 终边相同的角：所有与角 \(\alpha\) 终边相同的角可写成 \(\beta=\alpha+k\cdot 360^{\circ}\ (k\in\mathbb{Z})\)（弧度制下 \(\beta=\alpha+2k\pi\)）。

2. 常见轴线角的终边（必记）

3. 弧度制

坐标定义法：设角 \(\alpha\) 终边上任意一点 \(P(x,y)\)，\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0\)，则

单位圆定义法：取 \(r=1\)，则角 \(\alpha\) 的终边与单位圆交点为 \(P(x,y)\)，即 \(\sin\alpha=y\)，\(\cos\alpha=x\)，\(\tan\alpha=y/x\)（终边与 x 轴不重合时）。

特殊角的三角函数值（必背，16 个角全覆盖）

常用变形：

• \(\sin^{2}\alpha=1-\cos^{2}\alpha\)，\(\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha\)；
• \(\sin\alpha\cdot\cos\alpha\) 与 \(\sin\alpha\pm\cos\alpha\) 的转化（知一求二核心）： \[(\sin\alpha\pm\cos\alpha)^{2}=1\pm 2\sin\alpha\cos\alpha\]
• 已知 \(\tan\alpha=t\)，求 \(\dfrac{a\sin\alpha+b\cos\alpha}{c\sin\alpha+d\cos\alpha}\)：分子分母同除以 \(\cos\alpha\)，化为 \(\dfrac{a\tan\alpha+b}{c\tan\alpha+d}\)（齐次式弦化切）。

六组基本诱导公式（α 为任意角）

1. 二倍角公式

2. 降幂公式（由余弦二倍角移项而来，化简题高频）

3. 半角公式 了解即可

（正负号由 \(\dfrac{\alpha}{2}\) 所在象限决定；\(\tan\dfrac{\alpha}{2}\) 的两种形式一般需掌握。）

推导：提取 \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) 后凑两角和公式：\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\sin x+\dfrac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cos x\right)\)。

作用：将"一次齐次式"化为 \(A\sin(\omega x+\varphi)\) 标准型，从而读出值域、周期、单调区间、对称性——这是高考解答题第一问的标准套路。

（表中 \(k\in\mathbb{Z}\)）

五点法作 \(y=\sin x\) 在 \([0,2\pi]\) 上的图象

1. 基本量（A>0, ω>0）

• 振幅：\(A\)；周期：\(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\)；频率：\(f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi}\)；相位：\(\omega x+\varphi\)；初相：\(\varphi\)。
• 值域：\([B-A,\ B+A]\)，最大值 \(B+A\)，最小值 \(B-A\)。

2. 五点法作图（关键步骤）

令 \(X=\omega x+\varphi\) 依次取 \(0,\ \dfrac{\pi}{2},\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2},\ 2\pi\)，解出对应的 \(x\) 值，列表描点。五点对应：上升零点 → 峰 → 下降零点 → 谷 → 上升零点。

3. 图象变换（y=sin x 出发）

4. 性质的求法（整体代换思想）

令 \(X=\omega x+\varphi\)，套用 \(y=\sin X\) 的结论，再把 \(X=\omega x+\varphi\) 解出来：

5. 由图象求解析式 A、B、ω、φ（四步法）

• ① 求 A、B：\(A=\dfrac{y_{\max}-y_{\min}}{2}\)，\(B=\dfrac{y_{\max}+y_{\min}}{2}\)；
• ② 求 ω：从图象读出周期 \(T\)（如相邻两峰的水平距离、相邻峰谷距离 \(=\dfrac{T}{2}\)），则 \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}\)；
• ③ 求 φ：代入图象上的特殊点（优先用"上升零点"：\(\omega x+\varphi=2k\pi\)；或最高点：\(\omega x+\varphi=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\)）；
• ④ 检验：代回另一点验证，注意 \(|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}\)（或题目给定范围）的限定。

• 切化弦：遇 \(\tan\) 优先化为 \(\dfrac{\sin}{\cos}\)（正切万能归弦）。
• "1"的代换：\(1=\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=\tan\dfrac{\pi}{4}=\tan\alpha\cdot\dfrac{1}{\tan\alpha}\)。
• 角的变换：\(\alpha=(\alpha+\beta)-\beta\)，\(2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)\)，\(\dfrac{\alpha}{2}=\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{\pi}{4}\) 等——已知角表示未知角是最重要思想。
• 降幂与升幂：二次式用降幂公式化一次；需要 \(2\alpha\) 时用升幂 \(\sin^{2}\alpha\cdot\cos\alpha\) 类结构凑 \(\sin 2\alpha\)。
• 凑辅助角：形如 \(a\sin x+b\cos x\) 一律化为 \(A\sin(x+\varphi)\) 再研究性质。
• 角的范围讨论：开方（半角公式）、由值求角时，必须先确定角所在象限。